Astuce 1: Comment calculer l'angle d'un parallélogramme
Astuce 1: Comment calculer l'angle d'un parallélogramme
Avoir parallélogramme il y a quatre coins. Bien fairegon et le carré sont tous à 90 degrés, tandis que pour les parallélogrammes restants, leur valeur peut être arbitraire. Connaissant les autres paramètres de la figure, ces angles peuvent être calculés.
Instructions
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Un parallélogramme est une figure qui a des côtés opposés, et les angles sont égaux et parallèles. Il y a quatre types parallélogramme, dont trois sont un cas particulier de cette figure. Le classique parallélogramme deux angles vifs et deux angles obtus. Au carré et droitgon tous les angles sont droits. Le losange est analogue au parallélogramme classique et n'en diffère que par le fait qu'il est équilatéral. Tous les parallélogrammes, quel que soit le type, ont un certain nombre de propriétés communes. Premièrement, les diagonales de cette figure se croisent toujours à un point qui coïncide avec leurs points médians. Deuxièmement, dans tout parallélogramme, les angles opposés sont égaux.
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Dans un certain nombre de problèmes, un parallélogramme classique avecdeux diagonales croisées. Deux de ses côtés et la région sont connus de la condition. C'est assez pour trouver l'un des coins de la figure. La formule de relation entre la surface, les côtés et l'angle est la suivante: S = a * b * sin α, où a est la longueur parallélogramme, B - largeur, α - angle aigu, S - ploschad.Preobrazuyte cette formule comme suit: α = arcsin (S / ab) .Value angle obtus β obtenir en soustrayant la valeur de 180 degrés aigus: β = α 180.
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Coins droitsgon et vous n'avez pas besoin de trouver un carré - ils ont toujourssont égaux à 90 °. Dans le losange, les angles peuvent être différents, mais en relation avec les mêmes longueurs des quatre côtés, la formule peut être simplifiée: S = a ^ 2 * sin α, où a est le côté du diamant, α est l'angle aigu, S est la surface. est égal à la valeur: α = arcsin (S / a ^ 2) Trouver l'angle obtus par la méthode indiquée ci-dessus.
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Si vous maintenez la hauteur dans le parallélogramme ou le diamant, un triangle rectangulaire est formé. Party parallélogramme Ce sera l'hypoténuse, et la hauteur - la jambe de ce trianglegon. Le rapport de cette jambe à l'hypoténuse est égal au sinus de l'angle parallélogramme: sinα = h / c Donc l'angle α est: α = arcsin (h / c).
Astuce 2: Comment trouver l'angle aigu d'un parallélogramme
Un parallélogramme est un plat géométriqueLa figure formée par l'intersection de deux paires de droites parallèles les unes aux autres. Toutes les propriétés de ce quadrilatère sont déterminées précisément par sa propriété distinctive - le parallélisme des côtés opposés. De là, en particulier, l'égalité par paire des longueurs des côtés et l'identité des angles opposés. Ces propriétés simplifient grandement le calcul des angles dans les sommets de la figure.
Instructions
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S'il est nécessaire de calculer la valeur de aiguë (α)angle du parallélogramme, la valeur d'au moins un des angles (β) est connu, puis procéder au fait que la somme des quatre coins doit être de 360 °. Comme l'une des principales propriétés de cette figure est la similitude en face de sommets pour calculer les valeurs des angles dans une paire de parties non connues diviser en deux la différence entre 360 ° et la valeur de l'angle connu à deux reprises: α = (360 ° -2 * β) / 2.
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S'il est nécessaire de déterminer la valeur de l'angle aigu (α)parallélogramme dans lequel les longueurs des côtés adjacents (A et B) et la plus petite des diagonales (d) sont connus, alors considérons le triangle formé par ces trois segments. Le cosinus de l'angle dont vous avez besoin est égal au rapport entre la somme des longueurs carrées des côtés, à partir desquelles la longueur diagonale de la diagonale est soustraite, et le produit des deux côtés doublé - cela découle du théorème du cosinus. La fonction trigonométrique, qui par le cosinus de l'angle restaure sa valeur en degrés, s'appelle l'arc cosinus. Et l'appliquer à la relation obtenue à l'aide du théorème du cosinus: α = arccos ((² + ²²-d²) / (2 * А * В)).
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Si, comme dans la version précédente, les longueursles côtés adjacents (A et B), et la valeur de la longue (D) est donnée à la place de la petite diagonale, l'algorithme est légèrement plus compliquée. En revanche, la grande diagonale du parallélogramme est un angle obtus, de sorte que d'abord calculer sa valeur en fonction de la formule de l'étape précédente, puis d'appliquer la formule de la première étape. En général, la formule peut être écrite comme suit: α = (360 ° -2 * arccos ((A² + V²-D²) / (2 * A * B))) / 2.
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Si en plus des longueurs des côtés adjacents du parallélogramme (Aet B) sa surface (S) est connue, cela suffit pour calculer la valeur de l'angle aigu (α). Sinusoïde de cet angle du rapport entre la surface et le produit de la longueur des côtés, puis appliquer la fonction arcsine au résultat - il fonctionne de manière similaire à l'arccosine: α = arcsin (S / (A * B)).
Astuce 3: Comment trouver la diagonale d'un parallélogramme si les côtés sont donnés
Un parallélogramme est un quadrilatère,les côtés opposés sont parallèles. Les lignes droites reliant ses angles opposés sont appelées diagonales. Leur longueur dépend non seulement de la longueur des côtés de la figure, mais aussi des angles aux sommets de ce polygone, donc sans connaître au moins un des angles, il est possible de calculer les longueurs de diagonales seulement dans des cas exceptionnels. Ce sont des cas particuliers d'un parallélogramme - un carré et un rectangle.
Instructions
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Si les longueurs de tous les côtés du parallélogramme sont les mêmes(a), alors cette figure peut aussi être appelée un carré. Les valeurs de tous ses angles sont de 90 ° et les longueurs des diagonales (L) sont les mêmes et peuvent être calculées par le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle. Multiplier la longueur du côté du carré par la racine des deux - le résultat et sera la longueur de chacune de ses diagonales: L = a * √2.
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Si un parallélogramme est connu pour êtrerectangle avec les longueurs (a) et la largeur (b) spécifiées, alors dans ce cas les longueurs des diagonales (L) seront égales. Et ici, aussi, impliquer le théorème de Pythagore pour le triangle, dans lequel l'hypoténuse est la diagonale, et les deux côtés adjacents du quadrilatère sont les jambes. La valeur désirée est calculée en extrayant la racine de la somme de la largeur et de la hauteur au carré du rectangle: L = √ (a² + b²).
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Pour tous les autres cas, la connaissance seulelongueurs des côtés seulement suffisante pour déterminer l'amplitude, comprenant une longueur une fois que les deux diagonales - la somme de leurs carrés est par définition égale au double de la somme des carrés des longueurs des côtés. Si, en plus des longueurs de deux côtés adjacents du parallélogramme (a et b) également connu sous l'angle entre eux (γ), ces données pour calculer la longueur de chaque segment reliant les coins opposés de la forme. longueur de la diagonale (L₁), située à l'opposé de l'angle connu, obtenir le théorème de cosinus - ajouter les carrés des longueurs des côtés adjacents, à partir du résultat de soustraire le produit de la longueur du cosinus de l'angle entre eux, et à partir de la valeur obtenue en prenant la racine carrée: L₁ = √ (a² + b² -2 * a * b * cos (γ)). Pour trouver l'autre longueur de la diagonale (L₂) peut utiliser la propriété du parallélogramme donné au début de cette étape - doubler la somme des carrés des longueurs de deux côtés du carré du résultat de la soustraction déjà calculé la diagonale, et la valeur obtenue à partir de l'extrait de racine. En termes généraux, cette formule peut être écrite comme: L₂ = √ (a² + b²- L₁²) = √ (a² + b²- (a² + b²-2 * a * b * cos (γ))) = √ (a² + b²- a²-b² + 2 * a * b * cos (γ)) = √ (2 * a * b * cos (y)).
Astuce 4: Comment trouver la surface d'un parallélogramme si seulement ses côtés sont connus
Un parallélogramme est considéré comme définitif siune de ses bases et le côté sont donnés, et aussi l'angle entre eux. Le problème peut être résolu par des méthodes d'algèbre vectorielle (alors même un dessin ne sera pas nécessaire). Dans ce cas, la base et le côté latéral doivent être spécifiés par des vecteurs et utiliser l'interprétation géométrique du produit vectoriel. Si seulement les longueurs des côtés sont données, le problème n'a pas de solution unique.
Vous aurez besoin
- - papier;
- - la poignée;
- - règle.
Instructions
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Prenant en compte que a (8,0,0), b (2sqrt (3,2), 0,0), depuis axe 0z «regarde » directement à nous avec le plan du dessin, et les vecteurs eux-mêmes se trouvent dans un plan 0xy.Dlya de ne pas faire des erreurs une fois encore, notez le résultat que: n = {nx, ny, nz} = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz) + k (axby-aybx); et les coordonnées :. {nx, ny, nz} = {(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)} De plus, afin de ne pas confondre avec les exemples numériques, décharger tous individuellement. nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx. Les valeurs disponibles en remplaçant dans l'état, vous obtenez: nx = 0, 0 = ny, nz = 16. Dans ce cas, S = | nz | = 16 unités. sq. m.
Astuce 5: Comment calculer la superficie d'un parallélogramme construit sur des vecteurs
Sur deux non-colinéaires et non-nulles vecteurs il est possible de construire un parallélogramme. Ces deux vecteurs rétréciront le parallélogramme si vous combinez leurs débuts en un point. Terminer les côtés de la figure.
Instructions
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Trouvez les longueurs des vecteurs si leurs coordonnées sont données. Supposons, par exemple, que le vecteur A ait les coordonnées (a1, a2) dans le plan. Alors la longueur du vecteur A est | A | = √ (a1² + a2²). De même, le module du vecteur B se trouve: | B | = √ (b1² + b2²), où b1 et b2 sont les coordonnées du vecteur B dans le plan.
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Zone parallélogramme est trouvé à partir de la formule S = | A | • | B | • sin (A ^ B), où A ^ B- l'angle entre les vecteurs donnés A et B. Le sinus peut être trouvé à travers le cosinus, en utilisant l'identité trigonométrique de base: sin²α + cos²α = 1. Le cosinus peut également être exprimé en termes de produit scalaire de vecteurs écrits en coordonnées.
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Le produit scalaire du vecteur A par le vecteur Best noté (A, B). Par définition, il est égal à (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). A coordonnées dans le produit interne écrite comme suit: (A, B) = a1 + b1 • • a2 b2. Par conséquent, il est possible d'exprimer le cosinus de l'angle entre les vecteurs: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Dans le numérateur - le produit scalaire, le dénominateur - la longueur des vecteurs.
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Maintenant, nous pouvons exprimer le sinus de la fondamentaleidentités trigonométriques: sin²α = 1-cos²α, sin = ± √ (1-cos²α). En supposant que l'angle α entre les vecteurs - aiguë, « moins » lorsque le sinus peut être mis au rebut, en laissant seulement le signe « plus », parce que l'angle aigu du sinus peut être seulement positif (ou nul à angle nul, mais est un angle non nul, cela est indiqué dans la condition vecteurs colinéaires).
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Nous devons maintenant substituer l'expression de la coordonnée du cosinus dans la formule sinusoïdale. Après cela, il ne reste plus qu'à écrire le résultat dans la formule de zone parallélogramme. Si tout cela est fait et simplifié l'expression numérique, alors il s'avère que S = a1 • b2-a2 • b1. Ainsi, la zone parallélogramme, construit sur vecteurs A (a1, a2) et B (b1, b2) sont trouvés par la formule S = a1 • b2-a2 • b1.
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L'expression résultante est le déterminant de la matrice composée des coordonnées des vecteurs A et B: a1 a2b1 b2.
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En effet, pour obtenir le déterminant d'une matrice de dimension deux, il faut multiplier les éléments de la diagonale principale (a1, b2) et soustraire de cela le produit des éléments de la diagonale secondaire (a2, b1).
Astuce 6: Comment prouver qu'un parallélogramme est un rectangle
Un rectangle est un cas particulierparallélogramme. Tout rectangle est un parallélogramme, mais tous les parallélogrammes ne sont pas des rectangles. Pour prouver qu'un parallélogramme est un rectangle, on peut utiliser le critère d'égalité triangulaire.
Instructions
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Rappelez la définition d'un parallélogramme. C'est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et parallèles. De plus, la somme des angles adjacents à un côté est de 180 °. La même propriété est possédée aussi par un rectangle, seulement elle devrait correspondre à une autre condition. Les angles adjacents à un côté sont égaux et ont chacun 90 °. C'est, en tout cas, vous aurez besoin de prouver exactement que la figure donnée non seulement les côtés sont parallèles et égaux, mais tous les angles sont droits.
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Dessine un parallélogramme ABCD. Diviser le côté AB en deux et mettre le point M. Joindre avec les sommets des coins C et D. Vous devez prouver que les coins du MAC et MWD sont égaux. Leur somme, selon la définition d'un parallélogramme, est de 180 °. Pour commencer, vous devez prouver l'égalité des triangles MAC et MBD, c'est-à-dire que les segments MC et MD sont égaux entre eux.
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Faire une construction de plus. Diviser le côté du CD en deux et mettre le point N. Considérez soigneusement quelles figures géométriques comprennent maintenant le parallélogramme original. Il est composé de deux parallélogrammes AMND et MBCN. Il peut être représenté comme étant constitué de triangles DMB, MAC et MVD. Le fait que AMND et MBCN soient des parallélépipèdes identiques peut être prouvé sur la base des propriétés d'un parallélépipède. Les segments AM et MB sont égaux, les segments NC et ND sont égaux et représentent les moitiés des côtés opposés du parallélépipède, qui par définition sont identiques. En conséquence, la ligne MN sera égale aux côtés AD et BC et parallèle à celle-ci. Ainsi, pour ces parallélépipèdes identiques, les diagonales seront égales, c'est-à-dire que le segment MD est égal au segment MC.
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Comparez les triangles MAS et MVD. Rappelez-vous les signes d'égalité des triangles. Il y en a trois, et dans ce cas il est plus commode de prouver l'égalité de trois côtés. Les côtés des MA et MB sont identiques, puisque le point M est situé juste au milieu du segment AB. Les côtés AD et BC sont égaux par la définition d'un parallélogramme. Vous avez prouvé l'égalité entre les côtés de MD et MC dans l'étape précédente. C'est-à-dire que les triangles sont égaux, ce qui signifie que tous leurs éléments sont égaux, c'est-à-dire que l'angle du MAD est égal à l'angle du MFR. Mais ces coins sont adjacents à un côté, c'est-à-dire que leur somme est de 180 °. En divisant ce nombre en deux, vous obtenez la taille de chaque coin - 90 °. C'est-à-dire que tous les angles d'un parallélogramme donné sont des lignes droites, ce qui signifie que c'est un rectangle.
Astuce 7: Quel angle obtus ressemble
Un coin en géométrie est généralement appelé une figure,qui est formé par deux rayons émanant du même point. Il existe de nombreux types d'angles, mais dans le cours de géométrie de l'école, le plus souvent, vous devez faire face à des angles droits, émoussés ou tranchants, ainsi que déplié et plein.
