Astuce 1: Comment trouver l'angle sur les côtés du triangle
Astuce 1: Comment trouver l'angle sur les côtés du triangle
Les longueurs des côtés du triangle sont liées aux anglesles sommets de la figure par des fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, etc. Ces relations sont formulées dans des théorèmes et des définitions de fonctions à travers les angles aigus d'un triangle à partir du cours de la géométrie élémentaire. En les utilisant, vous pouvez calculer l'ampleur de l'angle à partir des longueurs connues des côtés du triangle.
Instructions
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Pour calculer n'importe quel angle d'un arbitrairetriangle dont les longueurs de côtés (a, b, c) sont connues, utilisez le théorème du cosinus. Il affirme que le carré de la longueur de l'un des côtés égaux à la somme des carrés des longueurs des deux autres, qui est soustrait le double du produit de la longueur des deux côtés du cosinus de l'angle entre eux. Utilisez ce théorème pour calculer l'angle peut être dans l'un des sommets, il est important de savoir que son emplacement par rapport aux côtés. Par exemple, pour trouver les α angle qui se trouve entre les côtés b et c, doit être écrit comme théorème: a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (α).
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Exprimer le cosinus de l'angle désiré à partir de la formule: cos (α) = (b² + c²-a²) / (2 * b * c). Appliquez la fonction cosinus cosinus inverse aux deux côtés de l'équation. Il vous permet de restaurer l'angle en degrés de la valeur du cosinus: arccos (cos (α)) = arccos ((b² + c²-a²) / (2 * b * c)). La partie gauche peut être simplifiée et la formule de calcul de l'angle entre les côtés b et c prendra la forme finale: α = arccos ((b² + c²-a²) / 2 * b * c).
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En trouvant les valeurs des angles aigus danstriangle rectangle connaissant les longueurs de tous les côtés est pas nécessaire, seulement deux d'entre eux. Si ces deux côtés - les branches (a et b), qui divisent la longueur qui se trouve en face de l'angle souhaité (α), de la longueur de l'autre. Ainsi, vous obtenez la valeur de l'angle désiré tan tg (α) = a / b, et en appliquant aux deux côtés de la fonction inverse - la tangente d'arc - et la simplification, comme dans l'étape précédente, la partie gauche, la sortie formule finale: α = arctg (a / b ).
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Si les côtés connus d'un rectangletriangle-cathéter (a) et hypoténuse (c), utilisez la fonction cosinus pour calculer l'angle (β) formé par ces côtés, et le cosinus cosinus inverse. Le cosinus est déterminé par le rapport de la longueur de la jambe à l'hypoténuse, et la formule dans la forme finale peut s'écrire: β = arccos (a / c). Pour calculer l'angle aigu (α), qui se trouve en face de la branche connue, en utilisant les mêmes données initiales, utiliser la même relation, en remplaçant l'arc cosinus par l'arc sinus: α = arcsin (a / c).
Astuce 2: Comment trouver les angles d'un triangle le long des côtés de ses côtés
Il y a plusieurs options pour trouver les amplitudes de tous les angles dans un triangle si la longueur de ses trois soirées. Une façon consiste à utiliser deux formules différentes pour calculer la zone triangle. Pour simplifier les calculs, on peut aussi appliquer le théorème sinus et le théorème sur la somme des angles triangle.
Instructions
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Utilisez, par exemple, deux formules pour calculer la surface triangle, dans l'un desquels seulement trois de ses soiréess (formule de Heron), et dans les deux autres soiréess et le sinus de l'angle entre eux. Utilisation de paires différentes dans la deuxième formule soirées, vous pouvez déterminer les valeurs de chacun des angles triangle.
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Résolvez le problème d'une manière générale. La formule de Heron définit la zone triangle, comme la racine carrée du produit d'un semipérimètre (la moitié de la somme de tous soirées) sur la différence entre le demi-perimètre et chacun des soirées. Si vous remplacez le périmètre par la somme soirées, alors la formule peut être écrite sous la forme suivante: S = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + c-a) * (a + c-b) * (a + b-c). soiréeszone s triangle peut être exprimé comme la moitié du produit de ses deux soirées sur le sinus de l'angle entre eux. Par exemple, pour soirées a et b avec un angle γ entre eux, cette formule peut êtreécrite comme suit: S = a * b * sin (γ). Remplacer la partie gauche de la formule de Heron: 0,25 * √ (a + b + c) * (b + c-a) * (a + c-b) * (a + b-c) = a * b * sin (γ). La sortie de cette égalité la formule pour le sinus de l'angle γ: sin (γ) = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) / (a * b *)
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Des formules similaires pour deux autres angles:sin (α) = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) / (b * c *) sin (β) = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) / (a * c *) au lieu de ces formules peuvent utiliser le théorème de sinus, d'où il résulte que le rapport soirées et les sinus des angles qui les opposent dans le trianglesont égaux. C'est-à-dire, en calculant à l'étape précédente le sinus de l'un des angles, vous pouvez trouver le sinus de l'autre angle en utilisant la formule la plus simple: sin (α) = sin (γ) * a / c. Et en partant du fait que la somme des angles dans le triangle est de 180 °, le troisième angle peut être calculé encore plus simplement: β = 180 ° -α-γ.
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Utilisez, par exemple, une calculatrice standardWindows pour trouver les angles en degrés après avoir calculé les valeurs sinus de ces angles en utilisant des formules. Pour ce faire, utilisez la fonction trigonométrique, l'inverse du sinus - l'arcsine.
