Comment trouver l'intervalle de convergence
Comment trouver l'intervalle de convergence
La série de puissance est un cas particulier d'une fonctionnelleséries dont les termes sont des fonctions de puissance. Leur large diffusion est due au fait que, lorsqu'un certain nombre de conditions sont réunies, elles convergent vers des fonctions données et constituent l'outil analytique le plus pratique pour leur présentation.
Instructions
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La série de puissance est un cas spécialsérie fonctionnelle. Il a la forme 0 + c1 (z-z0) + c2 (z-z0) ^ 2 + ... + cn (z-z0) ^ n + .... (1) Si nous faisons la substitution x = z-z0, alors cette série prend la forme c0 + c1x + c2x ^ 2 + ... + cn (x ^ n) + .... (2)
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Dans ce cas, des séries de la forme (2) sont plus commodes à considérer. Il est évident que toute série de puissance converge pour x = 0. L'ensemble des points auxquels la série est convergente (domaine convergence) peut être trouvé sur la base du théorème d'Abel. Il s'ensuit que si la série (2) est convergente en un point x0 ≠ 0, alors elle converge pour tout x vérifiant l'inégalité | x |
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En conséquence, si à un moment x1 la sériediverge, alors ceci est observé pour tout x pour lequel | x1 |> | b |. L'illustration de la figure 1, où x1 et x0 sont choisis pour être grands, nous permet de comprendre que tout x1> x0. Par conséquent, lorsqu'ils se rapprochent l'un de l'autre, la situation x0 = x1 se présentera inévitablement. Dans ce cas, la situation de convergence, en passant par les points fusionnés (appelons-les -R et R) change brusquement. Puisque R est de longueur géométrique, le nombre R≥0 est appelé le rayon de convergence de la série de puissance (2). Intervalle (-R, R) est appelé l'intervalle de convergence de la série de puissance. C'est possible et R = + ∞. Pour x = ± R, la série devient numérique et son analyse est effectuée sur la base d'informations sur les séries numériques.
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Pour déterminer R, la série est étudiée pour absolueconvergence. C'est-à-dire qu'une série de valeurs absolues des termes de la série originale est compilée. Les études peuvent être menées sur la base des signes de d'Alembert et de Cauchy. En les appliquant, on trouve des limites qui sont comparées à l'unité. Par conséquent, la limite égale à l'unité est atteinte en x = R. Lors de la résolution sur la base de d'Alembert, la limite indiquée sur la Fig. 2a. Le nombre positif x auquel cette limite est égale à un sera le rayon R (voir Fig. 2b). Dans l'étude de la série par le critère de Cauchy radical, la formule de calcul de R prend la forme (voir Fig. 2c).
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Les formules montrées à la Fig. 2 sont appliquées à condition que les limites en question existent. Pour la série de puissances (1), l'intervalle de convergence s'écrit sous la forme (z0-R, z0 + R).
