Astuce 1: Comment se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur
Astuce 1: Comment se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur
Il y a plusieurs types irrationalité fractions dans le dénominateur. Elle est liée à la présence d'une racine algébrique d'un ou de plusieurs degrés. Pour se débarrasser de irrationalité, vous devez effectuer certaines actions mathématiques, selon la situation.
Instructions
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Avant de vous débarrasser de irrationalité fractions dans le dénominateur, il est nécessaire de déterminer son type, et en fonction decela continue la solution. Et bien que toute irrationalité découle de la simple présence de racines, diverses combinaisons et degrés suggèrent différents algorithmes.
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La racine carrée de dénominateur, une expression de la forme a / √b Entrez un facteur supplémentaire égal à √b. Pour garder la fraction inchangée, multiplier le numérateur et le dénominateur: a / √b → (a • √b) / b Exemple 1: 10 / √3 → (10 • √3) / 3.
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Disponibilité sous la ligne fractions racine d'une puissance fractionnaire de la forme m / n, où n> m Cette expression ressemble à ceci: a / √ (b ^ m / n).
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Débarrassez-vous de irrationalité également en entrant un multiplicateur, cette fois plus complexe: b ^ (n-m) / n, c'est-à-dire De l'exposant de la racine elle-même, le degré de l'expression sous son signe doit être soustrait. Puis dans dénominateur seule la première puissance subsistera: a / (b ^ m / n) → a · √ (b ^ (nm) / n) / b Exemple 2: 5 / (4 ^ 3/5) → 5 • √ (4 ^ 2 / 5) / 4 = 5 • √ (16 ^ 1/5) / 4.
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Somme des racines carrées Multipliez les deux composants fractions pour une différence similaire. Ensuite, l'ajout d'une racine irrationnelle dénominateur est transformé dans les expressions de différence / numéros sous le signe de la racine: a / (√b + √c) → un • (√b - √c) / (b - c) Exemple 3: 9 / (√13 + √23) → 9 • (√13 - √23) / (13 - 23) = 9 • (√23 - √13) / 10.
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Somme / différence des racines cubes Sélectionnez comme facteur supplémentaire le carré incomplet de la différence, si dénominateur est la somme, et en conséquence le carré incompletsomme de différence pour les racines: a / (∛b ± ∛c) → un • (∛b² ∓ ∛ (b • c) + ∛c²) / ((∛b ± ∛c) • ∛b² ∓ ∛ (b • c) + ∛c²) → a • (∛b² ∓ ∛ (b • c) + ∛c²) / (b ± c) Exemple 4: 7 / (∛5 + ∛4) → 7 • (+ ∛25- ∛20 ∛16) / 9.
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Si le problème contient à la fois un carré etdivisez ensuite la solution en deux étapes: enlevez séquentiellement la racine carrée du dénominateur, puis la racine cubique. Cela se fait selon les méthodes que vous connaissez déjà: dans la première étape, vous devez sélectionner le multiplicateur de la différence / de la somme des racines, dans le second - le carré incomplet de la somme / différence.
Astuce 2: Comment se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur
Un enregistrement de nombre fractionnaire correct ne contient pas irrationalité dans le dénominateur. Un tel enregistrement est plus facile à percevoir, alors quand irrationalité dans le dénominateur il est raisonnable de s'en débarrasser. Dans ce cas, l'irrationalité peut aller au numérateur.
Instructions
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Pour commencer, vous pouvez considérer l'exemple le plus simple - 1 / sqrt (2). La racine carrée de deux est un nombre irrationnel dans dénominateurDans ce cas, il est nécessaire de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par son dénominateur. Cela assurera un nombre rationnel dénominateur. En effet, sqrt (2) * sqrt (2) = sqrt (4) = 2. En multipliant deux racines carrées identiques les unes par rapport aux autres, on obtiendra ce qui est sous chacune des racines: dans ce cas, les deux.En résumé: 1 / sqrt (2) = (1 * sqrt (2)) / (sqrt (2) * sqrt (2)) = sqrt (2) / 2. Cet algorithme convient également aux fractions, en dénominateur dont la racine est multipliée par un nombre rationnel. Le numérateur et le dénominateur dans ce cas doivent être multipliés par la racine dans dénominateurExemple: 1 / (2 * sqrt (3)) = (1 * sqrt (3)) / (2 * sqrt (3) * sqrt (3)) = sqrt (3) / (2 * 3) = sqrt ( 3) / 6.
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Il est absolument analogue d'agir si dans dénominateur n'est pas une racine carrée, mais, disons, cubique ou tout autre degré. Racine dans dénominateur multiplier par exactement la même racine, multiplier le numérateur par la même racine. Ensuite, la racine ira au numérateur.
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Dans un cas plus compliqué, dénominateur il y a une somme ou une différence de l'irrationnel etun nombre rationnel ou irrationnel somme cas chisel.V deux (différence) de deux ou de la racine carrée de la racine carrée d'un nombre rationnel et peut utiliser la formule bien connue (x + y) (x-y) = (x ^ 2) - (y ^ 2). Cela aidera à se débarrasser de irrationalité dans le dénominateur. Si dans dénominateur alors le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par la somme des mêmes nombres, si la somme est une différence. Cette somme ou différence multipliée sera appelée conjuguée à l'expression dénominateurL'effet de ce schéma est clairement visible dans l'exemple: 1 / (sqrt (2) +1) = (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) (sqrt (2) -1) = (sqrt (2 ) -1) / ((sqrt (2) ^ 2) - (1 ^ 2)) = (sqrt (2) -1) / (2-1) = sqrt (2) -1.
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Si en dénominateur il y a une somme (différence) dans laquelle il y a une racine d'un degré supérieur, alors la situation devient non triviale et la disposition de irrationalité dans le dénominateur pas toujours possible
Astuce 3: Comment vous libérer de l'irrationalité dans le dénominateur des fractions
La fraction se compose du numérateur situé en haut de la ligne et du dénominateur auquel elle est divisée, située en dessous. Un irrationnel est un nombre qui ne peut pas être représenté sous la forme fractions avec un nombre entier dans le numérateur et un nombre naturel dans dénominateur. Ces nombres sont, par exemple, la racine carrée de deux ou pi. D'habitude, quand on parle de irrationalité dans le dénominateur, la racine est signifiée.
Instructions
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Débarrassez-vous de irrationalité multiplier par le dénominateur. Ainsi, l'irrationalité sera transférée au numérateur. Lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre, la valeur fractions ne change pas. Utilisez cette option si le dénominateur entier est une racine.
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Multipliez le numérateur et le dénominateur par le dénominateur le nombre de fois requis, selon la racine. Si la racine est carrée, alors une fois.
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Considérons un exemple avec une racine carrée. Prenez la fraction (56-y) / √ (x + 2). Il a un numérateur (56-y) et un dénominateur irrationnel √ (x + 2), qui est la racine carrée.
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Multipliez le numérateur et le dénominateur fractions par le dénominateur, qui est le √ (x + 2). Primal l'exemple (56-y) / √ (x + 2) devient ((56-y) * √ (x + 2)) / (√ (x + 2) * √ (x + 2)). Le résultat obtenu ((56-y) * √ (x + 2)) / (x + 2). Maintenant, la racine est dans le numérateur, et dans dénominateur non irrationalité.
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Pas toujours un dénominateur fractions le tout est sous la racine. Se débarrasser de irrationalité, en utilisant la formule (x + y) * (x-y) = x²-y².
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Considérons un exemple avec une fraction (56-y) / (√ (x + 2) -√y). Son dénominateur irrationnel contient la différence de deux racines carrées. Ajoutez le dénominateur à la formule (x + y) * (x-y).
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Multipliez le dénominateur par la somme des racines. Multiplier par le même numérateur à la valeur fractions n'a pas changé. La fraction prend la forme ((56-y) * (√ (x + 2) + √y)) / ((√ (x + 2) -√y) * (√ (x + 2) + √y)).
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Utilisez la propriété ci-dessus (x + y) * (x-y) = x²-y² et libérez le dénominateur de irrationalité. Par conséquent, nous obtenons ((56-y) * (√ (x + 2) + √y)) / (x + 2-y). Maintenant, la racine est dans le numérateur, et le dénominateur s'est débarrassé de irrationalité.
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Dans les cas difficiles, répétez ces deux options, en appliquant au besoin. S'il vous plaît noter qu'il n'est pas toujours possible de se débarrasser de irrationalité dans le dénominateur.
Astuce 4: Comment résoudre les fractions algébriques
La fraction algébrique est une expression de la forme A / B,où les lettres A et B désignent des expressions numériques ou des lettres. Souvent, le numérateur et le dénominateur dans les fractions algébriques sont lourds, mais les actions avec de telles fractions doivent être effectuées selon les mêmes règles que les actions avec des fractions ordinaires, où le numérateur et le dénominateur sont des entiers positifs.
Instructions
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Si mélangé fractions, traduisez-les dans les mauvais (une fraction dans laquellele numérateur est plus grand que le dénominateur): multipliez le dénominateur par la partie entière et ajoutez le numérateur. Donc le nombre 2 1/3 deviendra 7/3. Pour cela, 3 est multiplié par 2 et un est ajouté.
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Si vous voulez convertir la décimale enfaux, alors imaginez-le comme divisant un nombre sans virgule par un avec autant de zéros que le nombre après le point décimal. Par exemple, imaginez le nombre 2.5 comme 25/10 (si vous le coupez, vous obtenez 5/2), et le nombre 3.61 - comme 361/100. Travailler avec des fractions irrégulières est souvent plus facile qu'avec des fractions mixtes ou décimales.
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Si les fractions ont les mêmes dénominateurs et que vous devez les ajouter, ajoutez simplement les numérateurs; les dénominateurs restent inchangés.
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Si nécessaire, soustraire les fractions avec les mêmes dénominateurs du numérateur de la première fraction, soustraire le numérateur de la seconde fraction. Les dénominateurs sont également inchangés.
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Si vous devez ajouter des fractions ou soustraire une fraction deun autre, et ils ont des dénominateurs différents, amener la fraction au dénominateur commun. Pour ce faire, trouvez le nombre qui sera le plus petit multiple commun de la (NOC) des deux dénominateurs ou plusieurs s'il y a plus de deux fractions. Un NOC est un nombre divisé par les dénominateurs de toutes ces fractions. Par exemple, pour 2 et 5 c'est 10.
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Après le signe "égal", dessinez un horizontalet la ligne d'écriture dans le dénominateur est le nombre de (CNP). Baissez à chaque terme d'autres facteurs - le nombre par lequel il est nécessaire de multiplier le numérateur et le dénominateur pour obtenir un avis de conformité. multiplier séquentiellement les numérateurs de facteurs supplémentaires, en gardant le signe d'addition ou de soustraction.
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Calculez le résultat, réduisez-le ennécessaire ou sélectionner une partie entière. Par exemple - doit être ajouté à ⅓ et ¼. CNP pour les deux fractions - 12. Ensuite, un facteur additionnel à la première fraction - 4, la seconde - 3. Total: ⅓ + ¼ = (1 · 1 · 4 + 3) / 12 = 7/12.
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Si un exemple est donné pour la multiplication, multiplier entre(ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (le dénominateur du résultat sera obtenu). Dans ce cas, ils n'ont pas besoin d'être portés à un dénominateur commun.
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Pour diviser la fraction en fractions, il faut inverser la deuxième fraction et multiplier les fractions. Autrement dit, a / b: c / d = a / b · d / c.
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Disposer le numérateur et le dénominateur surmultiplicateurs, si nécessaire. Par exemple, prenez le multiplicateur commun par la parenthèse ou énoncez les formules de multiplication réduite de sorte que vous puissiez ensuite, si nécessaire, réduire le numérateur et le dénominateur du GCD, le plus petit diviseur commun.
Astuce 5: Comment présenter comme une fraction
Dans la vie de tous les jours, le plus souvent il n'y a pas de nombres naturels: 1, 2, 3, 4, etc. (5 kg de pommes de terre), et des nombres fractionnaires non entiers (5,4 kg d'oignons). La plupart d'entre eux sont représentés dans voir fractions décimales. Mais la fraction décimale est présentée dans voir fractions tout simplement.
Instructions
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Par exemple, le nombre "0.12" est donné. Si vous ne coupez pas cette décimale et ne la représentez pas telle qu'elle est, elle ressemblera à ceci: 12/100 ("douze centièmes"). Pour se débarrasser de la centaine dans le dénominateur, le numérateur et le dénominateur doivent être divisés en un nombre qui les divise en nombres entiers. C'est le numéro 4. Ensuite, en divisant le numérateur et le dénominateur, nous obtenons un nombre: 3/25.
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Si nous considérons une situation plus domestique, alors souvent sur l'étiquette de prix des produits on peut voir que son poids est, par exemple, de 0,478 kg ou similaire.Un tel nombre est également facile à imaginer voir fractions: 478/1000 = 239/500. Cette fraction est plutôt moche, et s'il y avait une opportunité, alors cette fraction décimale pourrait être encore réduite. Et tout de même la méthode: la sélection d'un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Ce nombre est appelé le plus grand facteur commun. Le «plus grand» facteur est nommé parce qu'il est beaucoup plus pratique d'utiliser le numérateur et le dénominateur pour diviser par 4 (comme dans le premier exemple) que de diviser deux fois par 2.
Astuce 6: Comment présenter une fraction décimale
Décimal fraction - variété fractions, qui dans le dénominateur a un nombre "rond": 10, 100, 1000, etc., Par exemple, fraction 5/10 a une notation décimale de 0,5. En partant de ce principe, fraction peut être voir décimal fractions.
Instructions
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Supposons, il est nécessaire de présenter dans voir décimal fraction 18/25.Tout d'abord, vous devez vous assurer que l'un des nombres "ronds" apparaît dans le dénominateur: 100, 1000, etc. Pour ce faire, le dénominateur doit être multiplié par 4. Mais par 4, il faut multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur.
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Multiplier le numérateur et le dénominateur fractions 18/25 sur 4, il s'avère 72/100. Ceci fraction en décimal voir ainsi: 0.72.
Astuce 7: Comment diviser les nombres décimaux
En divisant deux décimales, quand il n'y a pas de calculatrice en main, beaucoup éprouvent quelques difficultés. En fait, il n'y a rien de compliqué. Décimal fractions sont appelés tels si dans leur dénominateur le nombre,fold 10. En règle générale, ces nombres sont écrits en une ligne et ont une virgule séparant la partie fractionnaire de l'ensemble. Apparemment, en raison de la présence d'une partie fractionnaire, qui diffère également par le nombre de décimales, beaucoup ne comprennent pas comment produire des calculs mathématiques avec de tels nombres sans calculatrice.
Vous aurez besoin
- une feuille de papier, un crayon
Instructions
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Donc, afin de séparer une décimalefraction à l'autre, vous devez regarder les deux nombres et déterminer lequel d'entre eux a plus de signes après la virgule. Multipliez les deux nombres par un multiple de 10, c'est-à-dire 10, 1000 ou 100000, le nombre de zéros dans lequel est égal à plus de signes après la virgule de l'un de nos deux nombres initiaux. Maintenant les deux décimales fractions transformé en nombres entiers ordinaires. Prenez une feuille de papier avec un crayon et diviser les deux chiffres qui en résultent avec un "coin". Nous obtenons le résultat.
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Par exemple, nous devons diviser le nombre 7 456 par 0,43. Le premier nombre a plus de chiffres après la virgule décimale (3 chiffres), donc multipliez les deux nombres pas 1000 et obtenez deux entiers simples: 7456 et 430. Maintenant, divisez le "coin" 7456 par 430 et obtenez que si 7456 divisé 0,43 sortira à peu près 17.3.
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Il y a une autre façon de diviser. Nous écrivons en décimal fractions sous la forme de fractions simples avec un numérateur etdénominateur pour notre cas est 7456/1000 et 43/100. Par la suite, nous écrivons une expression de la division de deux fractions simples: 7456 * * 43 100/1000, puis couper des dizaines obtenir 7456/10 * 43 = 7456 / 430B finira par obtenir à nouveau la division de deux nombres premiers 7456 et 430, qui peut produire « zone ».
